메카넘 휠 차량의 동작 원리 - 2

조향 장치가 따로 없는 메카넘 휠 차량의 자세와 속도는 4개 휠의 회전 각속도를 통해 제어된다. 그리고 우리는 차량을 어떠한 자세와 속도로 움직이길 원한다. 차량의 움직임과 각 휠의 회전 각속도를 연결하는 것이 이번 글의 목적이다. 이를 위해서는 차량의 이동 속도를 입력으로 받아서 최종적으로 각 휠의 회전 각속도를 계산해내야 한다. 이 과정을 4개의 단계로 나누어 살펴보자.

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1. 차량의 움직임 분해

차량 움직임은 섀시 중심에서의 병진 이동 속도($\overrightarrow{v_t}$)와 Yaw 회전 각속도($\overrightarrow{w}$)로 나누어 생각해 볼 수 있다. 이들의 성분은 아래와 같으며 Fig 1에 벡터로 표현되어 있다. 여기서 아래 첨자로 사용된 t는 병진 운동(Translational motion)을 의미하고 r은 회전운동(Rotational motion)을 의미한다.

• $\overrightarrow{v_t}$ : 차량의 병진 이동 속도 벡터
• $\overrightarrow{v_{t_x}}$ : $\overrightarrow{v_t}$의x 방향 성분
• $\overrightarrow{v_{t_y}}$ : $\overrightarrow{v_t}$의 y 방향 성분
• $\overrightarrow{w}$: 섀시 중심을 축으로 한 yaw 회전의 각속도(angular velocity)

Fig 1. 차량의 병진/회전 운동과 각 휠에서의 속도 벡터

2. 휠에서의 속도 계산

섀시 중심에서의 속도인 vt와 w는 결국 각 휠에서 발생하는 속도들로 나누어 표현할 수 있다. 이후 계산방식이 모든 휠에 대해 동일하므로 여기서는 1번 휠을 기준으로 설명하고 마지막에 나머지 3개 휠로 확장하도록 하겠다.

• $\overrightarrow{r}$ : 차량의 중심에서 휠의 중심까지의 벡터
• $\overrightarrow{v_{r_1}}$ : 1번 휠의 중간 지점에서 $\overrightarrow{r}$에 대한 접선 속도
  
• $\overrightarrow{v_1}$ : 1번 휠의 중간 지점에서의 직선 속도로 $\overrightarrow{v_t}$와 $\overrightarrow{v_{r_1}}$의 합 벡터이다.

$\overrightarrow{v_t}$는 휠의 중심에서도 동일하다. 하지만 $\overrightarrow{w}$는 $\overrightarrow{r}$을 통해 접선속도 $\overrightarrow{v_{r_1}}$으로 된다. 회전운동을 할 경우 각 휠마다 접선속도는 다르다. 접선속도는 각속도와 반지름 방향 벡터의 외적으로 구한다.

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \overrightarrow{v_{r_1}}=\overrightarrow{w}\times \overrightarrow{r}\end{array}$$

$\overrightarrow{v_1}$은 $\overrightarrow{v_t}$와 $\overrightarrow{v_{r_1}}$의 합 벡터이며 식(1)의 접선속도를 대입하여 구할 수 있다.

$$\begin{array}{}\text{(2)}& \begin{array}{ccc}\overrightarrow{v_1}& =& \overrightarrow{v_t}+\overrightarrow{v_{r_1}}\\ & =& \overrightarrow{v_t}+\overrightarrow{w}\times \overrightarrow{r}\end{array}\end{array}$$

$\overrightarrow{v_1}$을 x와 y 성분으로 나누면 아래 식(3)과 식(4)와 같다.

$$\begin{array}{}\text{(3)}& \overrightarrow{v_{1_x}}=\overrightarrow{v_{t_x}}-\overrightarrow{w}\times \overrightarrow{r_y}\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(4)}& \overrightarrow{v_{1_y}}=\overrightarrow{v_{t_y}}+\overrightarrow{w}\times \overrightarrow{r_x}\end{array}$$

나머지 휠에 대해서도 구해보면 아래와 같다.

$$\overrightarrow{v_{2_x}}=\overrightarrow{v_{t_x}}-\overrightarrow{w}\times \overrightarrow{r_y},\overrightarrow{v_{2_y}}=\overrightarrow{v_{t_y}}-\overrightarrow{w}\times \overrightarrow{r_x}$$

$$\overrightarrow{v_{3_x}}=\overrightarrow{v_{t_x}}+\overrightarrow{w}\times \overrightarrow{r_y},\overrightarrow{v_{3_y}}=\overrightarrow{v_{t_y}}-\overrightarrow{w}\times \overrightarrow{r_x}$$

$$\overrightarrow{v_{4_x}}=\overrightarrow{v_{t_x}}+\overrightarrow{w}\times \overrightarrow{r_y},\overrightarrow{v_{4_y}}=\overrightarrow{v_{t_y}}+\overrightarrow{w}\times \overrightarrow{r_x}$$

 

3. 롤러의 속도 계산

앞에서 구한 1번 휠의 $\overrightarrow{v_1}$을 통해 롤러에서 발생하는 속도를 계산해보자. 1번 휠의 롤러에서 발생하는 속도들은 Fig 2에 나타내었다.

$\overrightarrow{v_1}$ : 1번 메카넘 휠의 속도

$\overrightarrow{v_{{\parallel }_1}}$ : 롤러의 축과 평행하게 발생하는 속도

$\overrightarrow{v_{{\perp }_1}}$ : 이 속도는 롤러의 회전축과 직각 방향이므로 어떠한 힘도 발생시키지 못하고 롤러가 그냥 굴러가기 때문에 무시해도된다.

$\hat{u}$ : 롤러의 회전축 방향의 단위 벡터

 

Fig 2. 롤러의 속도

단위 벡터 $\hat{u}$는 x와 y 성분으로 나눌 수 있다.

$$\hat{u}=-\frac{1}{\sqrt{2}}\hat{i}+\frac{1}{\sqrt{2}}\hat{j}$$

이를 통해 $\overrightarrow{v_1}$로부터 $\overrightarrow{v_{{\parallel }_1}}$을 구해보자.

$$\begin{array}{}\text{(5)}& \begin{array}{ccc}{v}_{{\parallel }_1}& =& \overrightarrow{v_1}\cdot \hat{u}\\ & =& (v_{1_x}\hat{i}+v_{1_y}\hat{j})\cdot (-\frac{1}{\sqrt{2}}\hat{i}+\frac{1}{\sqrt{2}}\hat{j})\\ & =& -\frac{1}{\sqrt{2}}{v}_{1_x}+\frac{1}{\sqrt{2}}{v}_{1_y}\end{array}\end{array}$$

나머지 휠들에 대해서도 계산해보면 아래와 같다.

$$\begin{array}{c}{v}_{{\parallel }_2}=\frac{1}{\sqrt{2}}{v}_{2_x}+\frac{1}{\sqrt{2}}{v}_{2_y}\\ v_{{\parallel }_3}=-\frac{1}{\sqrt{2}}{v}_{3_x}+\frac{1}{\sqrt{2}}{v}_{3_y}\\ v_{{\parallel }_4}=\frac{1}{\sqrt{2}}{v}_{4_x}+\frac{1}{\sqrt{2}}{v}_{4_y}\end{array}$$

4. 바퀴의 속도 계산

마지막으로 롤러의 속력($v_{{\parallel }_1}$)를 통해 휠의 속력($v_{w_1}$)을 구해보자. Fig 3은 이 둘의 관계를 보여준다.

$v_{w_1}$ : 1번 휠의 속력

 

 

Fig 3. 휠의 속도

$$v_{{\parallel }_1}=v_{w_1}\cos ({45}^{\circ })$$

$$\cos ({45}^{\circ })=\frac{1}{\sqrt{2}}$$

$$\begin{array}{}\text{(6)}& \begin{array}{ccc}{v}_{w_1}& =& \sqrt{2}\cdot v_{{\parallel }_1}\\ & =& \sqrt{2}(-\frac{1}{\sqrt{2}}{v}_{1_x}+\frac{1}{\sqrt{2}}{v}_{1_y})\\ & =& -v_{1_x}+v_{1_y}\end{array}\end{array}$$

식(3)과 식(4)를 a와 b의 식으로 나타내면 아래와 같다.

$$\begin{array}{}\text{(7)}& v_{1_x}=v_{t_x}-wb\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(8)}& v_{1_y}=v_{t_y}+wa\end{array}$$

식(7)과 식(8)을 식(6)에 대입하면 더디어 1번 휠의 속력이 구해진다.

$$\begin{array}{ccc}{v}_{w_1}& =& -(v_{t_x}-wb)+(v_{t_y}+wa)\\ & =& -v_{t_x}+v_{t_y}+wa+wb\\ & =& -v_{t_x}+v_{t_y}+w(a+b)\end{array}$$

나머지 휠들에 대해서도 계산을 하여 최종 결과를 얻는다.

$$\begin{array}{c}{v}_{w_1}=-v_{t_x}+v_{t_y}+w(a+b)\\ v_{w_2}=v_{t_x}+v_{t_y}-w(a+b)\\ v_{w_3}=-v_{t_x}+v_{t_y}-w(a+b)\\ v_{w_4}=v_{t_x}+v_{t_y}+w(a+b)\end{array}$$

결과 식을 보면 아주 간결하다. a와 b는 차량을 설계할 때 이미 정해지는 값이고 $\overrightarrow{v_t}$의 x와 y 축 성분인 $v_x$와 $v_y$ 그리고 차량의 회전 속력 값인 $w$만 입력으로 주면 각 휠의 속력을 얻을 수 있다. 또한 차량이 병진 이동만 한다면 $w$는 0이므로 $v_x$와 $v_y$ 값만 있으면 되며 회전만 한다면 $w$ 값만 있으면 된다.

 

다음 글부터는 실제 메카넘 휠 차량을 제작해보고 여기서 얻은 결과식을 이용하여 차량을 제어하도록 하자.

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참고자료

[메카넘 구동 시스템 (5)] 메카넘 구동 시스템 제어기술(1) / 좌표변환을 통한 메카넘 구동 시스템 제어

【学渣的自我修养】麦克纳姆轮浅谈 - 知乎 (zhihu.com)